Anhother, other the other

En realidad another es una combinación del artículo an y el adjetivo other:

an + other = another (Significa otro "como extra", más de lo mismo o bien una alternativa)

Por lo tanto, utilizamos another en las mismas situaciones en las que usaríamos a y an, es decir, antes de un sustantivo contable y singular.

Would you like a glass of wine? –> Would you like another glass of wine?

They’re going to buy a computer. –> They’re going to buy another computer.
Don't worry about the rain. We can go another day.
También se puede usar con un nombre plural cuando delante de éste va un número (o en frases con a few, a couple of...)
In another 20 years my laptop is going to be obsolete
Un error común es utilizar other en lugar de another en estas situaciones. Está claro que este vicio viene de la traducción literal del español, porque en español no se dice un otro/una otra:

¿Quieres otra copa de vino? –> Would you like other glass of wine. X

Van a comprar otro ordenador. –> They’re going to buy other computer. X

¿Cuándo utilizamos other, entonces? En cualquier situación en que no utilizaríamos a/an, por ejemplo, cuando utilizamos the, un pronombre posesivo (my, your, his, her…), some o any, y con cualquier sustantivo plural o incontable.

In this soup you can use carrots or other vegetables.

Are you free any other day of the week?

I left my cell phone in my other bag.

Ten cuidado de no utilizar another con sustantivos incontables o plurales
En cuanto a others es siempre pronombre y plural

Explicación muy detallada de su uso:
http://www.grammar.cl/english/another-other-others.htm

Ejercicio:
http://www.grammar.cl/english-games/another-other-others.htm